Als Beispiel wird häufig eine Torte herangezogen. Teilt man eine Torte z.B. in 8 gleiche Teile, so ist jedes Stück groß. Nimmt man von der Torte ein Stück weg, so bleiben noch 7 Stück übrig. In der Bruchrechnung beschreibt man die verbleibenden 7 Stücke als . Dieser Bruch sagt uns, dass die Torte in 8 Teile geschnitten wurde und dass noch 7 Stück vorhanden sind.

Wenn ein Bruch einen negativen Wert darstellt, steht das Minus Zeichen in Höhe des Bruchstrichs: .

Von einem echter Bruch spricht man, wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist. Der Bruch stellt dann ein Teil eines ganzen dar. Denken wir an die Torte, die in 8 Stücke geschnitten wurde, so ist ein Stück 1/8 groß. Die Bruch ist ein echter Bruch.

Von einem unechten Bruch spricht man, wenn der Zähler gleich oder größer als der Nenner ist. In diesem Fall beschreibt der unechte Bruch ein oder mehrere ganze Anteile und einen echten Bruchteil. Wenn wir zwei Torten betrachten, beide seien in 8 Teile unterteilt, so haben beide Torten zusammen 16 Stücke. Die 16 Tortenstücke können wir mit dem Bruch beschreiben. Nehmen wir von einer Torte ein Stück weg, so bleiben noch 15 Tortenstücke überig, also in der Schreibweise der Brüche . Auch das ist ein unechter Bruch.

Einen unechten Bruch kann man in einen gemischten Bruch umformen. Dazu teilen wir den Zähler durch den Nenner. Den ganzzahligen Teil schreiben wir vor den Bruch und der Rest wird der neue Zähler. Bleiben wir bei unseren zwei Torten von denen noch 15 Stück da sind, ergibt sich . Wir schreiben jetzt den Bruch als gemischten Bruch .

Wenn sich der Zähler und der Nenner eines Bruchs durch die gleiche Zahl teilen lassen, so kann man den Bruch kürzen. Dazu teilt man den Zähler und den Nenner durch den gemeinsamen Teiler. Der Wert des Bruchs wird dabei nicht verändert. Man erhält eine vereinfachte Darstellung. Denken wir wieder an die Torte mit 8 Teilen von der noch 4 Stück übrig sind, so sind noch von der Torte übrig. Man kann sowohl 4 als auch 8 durch 2 teilen und erhält . Auch diesen Bruch kann man noch mal kürzen, da die 2 und 4 durch 2 teilbar sind und erhält: . Zu dem selben Ergebnis kommt man, wenn man den Bruch gleich mit 4 gekürzt hätte, also den Zähler (4) und den Nenner (8) durch 4 geteilt hätte. Der Wert des Bruchs entspricht nach dem Kürzen dem Wert . Beide Brüche beschreiben den gleichen Anteil der Torte.

Wenn man Ergebnisse in der Bruchrechnung angibt, so löst man unechte Brüche in gemischte Brüche auf und kürzt den echten Bruch so weit wie möglich. Diesen Schritt führt man am Ende einer Bruchrechnung immer aus, auch wenn das in der Aufgabenstellung nicht ausdrücklich verlangt wird.

Am Beispiel von Tortenstücken heiß das wir teilen , das entspricht . Den Bruch kürzen wir mit 4 und erhalten . Zusammen mit dem ganzen Anteil lautet das Ergebnis .

Das Kürzen des einfachen Bruchs erscheint leicht, da man sofort sieht, daß sich der Zähler und der Nenner durch 4 teilen lassen. Für größere Zahlen wollen wir einen Algorithmus lernen, wie man einen Bruch kürzt.

Der einfachste Weg ist die Anwendung der Teilbarkeitsregeln. Wir prüfen die Teilbarkeit des Zählers und des Nenners mit den Teilbarkeitsregeln, wobei wir mit der Teilbarkeit durch 2 beginnen. Wenn sich Zähler und Nenner durch eine Zahl teilen lassen, kürzen wir den Bruch mit dieser Zahl indem wir den Zähler und den Nenner durch den gemeinsamen Teiler dividieren. Den neuen Bruch prüfen wir erneut auf die Teilbarkeit mit der gleichen Zahl. Wenn der Bruch nicht mehr mit 2 gekürzt werden kann, probieren wir, ob der Bruch sich durch die nächst größere Primzahl teilen läßt. Der Algorithmus ist beendet, wenn der Zähler oder der Nenner eine Primzahl ist und der Nenner oder der Zähler nicht durch den Zähler oder den Nenner teilbar ist. Für kleine Zahlen würde ich diese Vorgehensweise empfehelen.

Für Brüche mit große Zahlen können wir den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner berechnen. Wenn der ggT größer als 1 ist, so teilen wir den Zähler und den Nenner durch den ggT. Wenn der ggT 1 ist, kann der Bruch nicht gekürzt werden.